Transformation de Fourier
En mathématiques, plus précisément en analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série de Fourier des fonctions périodiques. La transformation de Fourier associe à toute fonction intégrable définie sur ℝ et à valeurs réelles ou complexes, une autre fonction sur ℝ appelée transformée de Fourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.

La transformée de Fourier représente une fonction par la densité spectrale dont elle provient, en tant que moyenne de fonctions trigonométriques de toutes fréquences. La théorie de la mesure ainsi que la théorie des distributions permettent de définir rigoureusement la transformée de Fourier dans toute sa généralité, elle joue un rôle fondamental dans l'analyse harmonique.

Lorsqu'une fonction représente un phénomène physique, comme l'état du champ électromagnétique ou du champ acoustique en un point, on l'appelle signal et sa transformée de Fourier s'appelle son spectre.

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

Définition 
La transformation de Fourier  est une opération qui transforme une fonction intégrable sur ℝ en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si  est une fonction intégrable sur ℝ, sa transformée de Fourier est la fonction  donnée par la formule :
 .

Conventions alternatives 
Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformation de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs multiplicatifs constants. Par exemple, certains scientifiques utilisent ainsi : 
 
avec  en secondes et  la fréquence (en hertz).

Certains utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformation de Fourier inverse) la transformation suivante : 
 
avec  en secondes et  la pulsation (en radians par seconde).

Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur , on a , à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables  d'une variable réelle . L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle . Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers  à la place de  et  ou  à la place de  qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que  est dans le domaine temporel, et que  est dans le domaine fréquentiel.

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformation directe avec un facteur  et la transformation de Fourier inverse avec le même préfacteur.

La notation  peut aussi être remplacée par  ou . Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter  pour la fonction de départ et  pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à  les variables duales . Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et quantité de mouvement. Cette notation n'est pas retenue ici.

Extension de la transformation de Fourier 
Le cadre le plus naturel pour définir les transformations de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformation de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz, et plus particulièrement des distributions tempérées permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

On peut généraliser la définition de la transformation de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif ℝn. Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif ℝ/ℤ, c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier —, et plus généralement sur des groupes localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duaux, ainsi que la mesure de Haar.

Propriétés de la transformation de Fourier 

 La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un tourne-disque. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.
 Si la fonction  est à support borné ( si ) alors  est à support infini. Inversement, si le support spectral de la fonction  est borné alors  est à support non borné.
 Si  est une fonction non nulle sur un intervalle borné alors  est une fonction non nulle sur  et inversement, si  est non nulle sur un intervalle borné alors  est une fonction non nulle sur .
 La transformée de Fourier de  est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par 
.
 Par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de .
 Supposons que la fonction  soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition sous le signe d'intégration. On constate alors que la dérivée  est la transformée de Fourier de .
 Si  est localement absolument continue ( dérivable presque partout et égale à « l'intégrale de sa dérivée ») et si  et  sont intégrables, alors la transformée de Fourier de la dérivée de  est .
On peut résumer les deux dernières propriétés : notons  l'opération

et  la multiplication par l'argument :
.

Alors, si  satisfait des conditions fonctionnelles convenables,  et .

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquels opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des distributions.

Transformation de Fourier inverse 
Si la transformée de Fourier de , notée , est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée , et appliquée à , permet (sous conditions appropriées) de retrouver    à partir des données fréquentielles :
.

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le  devenu .

Dans le cas des définitions alternatives, la transformation de Fourier inverse devient :
Définition en fréquence : .

Définition en pulsation : .

Extension à l'espace ℝn 
Notons  le produit scalaire canonique dans ℝn :.

Si  est une fonction intégrable sur ℝn, sa transformée de Fourier est donnée par la formule :
.

Si A est une isométrie linéaire directe, .
Il en résulte que la transformée de Fourier d'une fonction radiale est radiale.

Si la transformée de Fourier de  est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion :
.

Par conséquent, la transformation de Fourier de  dans  est injective (mais pas surjective).

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

Extension de la transformation de  à  
Le théorème de Plancherel permet de donner un sens à la transformée de Fourier des fonctions de carré sommable sur ℝ.

On commence par un premier résultat préparatoire.

Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout .

On a ainsi le théorème de Plancherel :

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme intemporel de l'espace , qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle si l'on utilise la notation en pulsation
.

En physique, on interprète le terme  figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Sur l'intersection  des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions coïncident.

La transformation vue comme opérateur de  
Remarque : ce paragraphe utilise la définition fréquentielle de la transformée de Fourier, pour des raisons d'isométrie.

Nous venons de voir que la transformation de Fourier  induit sur l'espace de Hilbert  un opérateur linéaire. Nous en récapitulons ici les propriétés :
  est un opérateur unitaire de . Il s'agit en particulier d'une isométrie. On retrouve le premier fait, connu sous le nom de formule de Parseval, affirmant que pour toutes fonctions ,

et en particulier le deuxième fait, connu sous le nom de théorème de Plancherel

 son inverse (qui est aussi son adjoint) est donné par   avec  ;
 en tant qu'automorphisme,  est de période 4. Autrement dit  =  ;
 en tant qu'endomorphisme de ,  a pour valeurs propres les quatre racines quatrièmes de l'unité :  et . Une base hilbertienne de vecteurs propres est donnée par les fonctions d'Hermite-Gauss

où  sont les polynômes d'Hermite « probabilistes », qui s'écrivent

Avec ces notations, la formule suivante récapitule la situation

On retrouve la gaussienne comme première fonction d'Hermite. Ces fonctions appartiennent à la classe de Schwartz .

Lien avec le produit de convolution 

La transformation de Fourier a des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution. On rappelle que (d'après l'inégalité de Young pour la convolution) :
si , alors  et  ;
si  et , alors  et  ;
si , alors  et .

Ainsi :
si , alors  ;
par densité, cette égalité tient encore si  et  ;
 Si , alors  ; de plus, l'égalité  est vraie si .

Principe d'incertitude 

Remarque : ce paragraphe utilise la définition fréquentielle de la transformée de Fourier.

On peut remarquer que les répartitions d'une fonction et de sa transformée de Fourier ont des comportements opposés : plus la masse de  est « concentrée », plus celle de la transformée est étalée, et inversement. Il est en fait impossible de concentrer à la fois la masse d'une fonction et celle de sa transformée.

Ce compromis entre la compaction d'une fonction et celle de sa transformée de Fourier peut se formaliser par un principe d'incertitude en considérant une fonction et sa transformée de Fourier comme des variables conjuguées par la forme symplectique sur le domaine temps-fréquence : par la transformation canonique linéaire, la transformation de Fourier est une rotation de 90° dans le domaine temps–fréquence qui préserve la forme symplectique.

Supposons  intégrable et de carré intégrable. Sans perte de généralité, on supposera  normalisée :
.

Par le théorème de Plancherel, on sait que  est également normalisée.

On peut mesurer la répartition autour d'un point ( sans perte de généralité) par :
.
De même pour la fréquence autour du point  :
.

En probabilités, il s'agit des moments d'ordre 2 de  et de .

Le principe d'incertitude dit que si  est absolument continue et que les fonctions  et  sont de carrés intégrables, on a alors :
.

Cette inégalité est aussi connue sous le nom d'inégalité de Heisenberg-Gabor ou simplement inégalité de Heisenberg par son utilisation répandue en mécanique quantique.

L'égalité n'est atteinte que pour  (alors ) pour σ > 0 arbitraire et C1 telle que  est L–normalisée, soit, si  est une fonction gaussienne (normalisée) centrée en 0 et de variance σ2, et sa transformée de Fourier est une gaussienne de variance σ–2.

Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz 
L'espace de Schwartz  est l'espace des fonctions  de classe C sur , telles que  et toutes ses dérivées soient à décroissance rapide. C'est un sous-espace vectoriel de , donc pour lequel la transformée de Fourier est définie.
Ces fonctions sont à la fois temporellement et fréquentiellement à décroissance exponentielle. L'intérêt de la classe de Schwartz résulte de la propriété d'échange entre régularité et décroissance à l'infini qu'opère la transformée de Fourier.
 Toute fonction de Schwartz est de classe C avec des dérivées toutes intégrables. On en déduit que sa transformée de Fourier est à décroissance rapide.
 Toute fonction de Schwartz est à décroissance rapide. On en déduit que sa transformée de Fourier est de classe C.
Ainsi, on visualise intuitivement pourquoi l'espace de Schwartz est invariant par transformation de Fourier. Cet espace est donc très commode pour l'utilisation de cette dernière. De plus, l'espace de Schwartz est dense dans  et dans , et pourrait donc servir de base pour la définition de la transformation de Fourier sur ces espaces.

Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise .

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées 

On définit la transformée de Fourier d'une distribution tempérée  comme la distribution définie via son crochet de dualité par
.

De même que sur , l'opérateur  ainsi défini sur  est un automorphisme bicontinu.

Les détails et des exemples ne sont pas donnés ici, mais figurent dans l'article relatif aux distributions tempérées.

Remarquons que l'expression de la transformée de Fourier d'une fonction  ressemble au produit scalaire dans  entre  et la conjuguée de . Sauf que  n'a pas de sens car  n'est pas dans . Mais le crochet de dualité des distributions , qui pour les fonctions coïncide avec le produit scalaire de , donne sens à cette formulation en tant que produit scalaire.

Cette généralisation va bien plus loin car l'espace des distributions tempérées  englobe les différents objets sur lesquels la transformée de Fourier a été définie : fonctions de  sommables ou de carré sommable, fonctions de  périodiques localement sommables ou localement de carré sommable, suites discrètes sommables, suites discrètes périodiques. La transformée de Fourier sur  unifie et généralise les différentes définitions des transformées avec l'unique formalisme des distributions.
Nous allons montrer que la transformée de Fourier sur  généralise les notions d'intégrales de Fourier et de séries de Fourier, en analysant successivement ces espaces.

Compatibilités

Compatibilité avec les espaces de fonctions 
Les fonctions intégrables et les fonctions de carré sommable définissent des distributions tempérées. Montrons que les deux notions possibles de transformée de Fourier coïncident dans le cas , puis utilisons cette compatibilité pour l'établir dans le cas .

Enfin, les fonctions périodiques intégrables sur une période sont exactement les fonctions à la fois périodiques et localement intégrables, et donc définissent des distributions régulières.

Le résultat énoncé ne concerne que les fonctions périodiques de la variable réelle mais s'étendrait facilement aux fonctions périodiques sur un réseau de ℝ. Comme  est bijective, la démonstration de ce résultat sera une conséquence du .

Compatibilité avec les espaces de suites 
Les suites, c'est-à-dire les signaux discrets, peuvent parfois s'exprimer comme des distributions sur ℝ à support dans ℤ. À une suite donnée  correspond en effet de manière unique une série de masses de Dirac . Lorsque cette suite est sommable, cette série de masses de Dirac a un sens en tant que distribution tempérée d'ordre 0.

Par densité, la démonstration s'étend aux séries de carré sommable. Notons en outre que la transformation de Fourier des distributions périodiques donne une définition de la transformée de Fourier discrète de suites non nécessairement sommables : les suites à croissance polynomiale.

En particulier, la transformée de Fourier discrète (TFD) s'interprète également comme la transformée d'une distribution tempérée. En effet, une suite finie de N points  s'identifie de manière unique avec une suite N-périodique obtenue par périodisation, c'est-à-dire convolution avec un peigne de Dirac.

Signaux discrets et signaux périodiques 

Nous pouvons retenir que formellement, la transformée de Fourier échange discrétisation et périodisation.
 Le spectre d'un signal discret  obtenu par échantillonnage à la période  présente un spectre périodique, résultant de la périodisation du spectre du signal continu :
.
Si la multiplication n'est pas définie entre distribution, on donne dans le cas du peigne un sens à , et la formulation de convolution est encore vérifiée : .
 Le spectre d'un signal -périodique , c'est-à-dire la somme de sa série de Fourier, est celui obtenu par discrétisation du spectre du signal tronqué sur une seule période.
 avec .

Liens avec d'autres transformations

Lien avec les transformations de Laplace 

La transformée de Fourier d'une fonction  est un cas particulier de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par :
 avec .

On constate alors que .

On peut également écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace « usuelle » par :
 

où les fonctions  et  sont définies par :

Lien avec les séries de Fourier

Parallèle formel 

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration  est remplacée par ,  étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors
 .
On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Lien direct 
Cependant, comme indiqué par l'étude théorique dans la section précédente, un lien direct entre séries et transformées de Fourier est possible par la théorie des distributions. En reprenant de façon plus pratique l'exposé précédent, la transformée de Fourier (définition fréquentielle) d'une fonction périodique  de période T est un peigne de Dirac de période fréquentielle , modulé par des coefficients complexes c : 

où les c sont précisément les coefficients de la série de Fourier (complexe) de .
Pour le voir, il suffit de vérifier que la formule de transformation inverse de  (définition en fréquences) donne précisément la série de Fourier de , et donc qu'elle est égale à  presque partout (en supposant que la série de Fourier de  converge).

Cela permet d'unifier le formalisme des séries de Fourier avec celui de la transformation de Fourier.

Avec la définition standard de la transformée de Fourier, il faut remplacer la formule précédente par :

Avec la définition pulsatoire, et en notant la pulsation de  par , elle devient    

Par exemple, après quelques manipulations, on a les transformées de Fourier fréquentielles suivantes :
 (Dirac décalé) ;

Il y a encore une formule utile qui donne les coefficients  de la série de Fourier d'une fonction périodique  dès que l'on connait la transformation de Fourier de sa « restriction »  à la période centrale  ( existe nécessairement si  est localement intégrable puisque  est compacte).
En effet, par comparaison de la formule des coefficients de la série de Fourier de  avec celle donnant la transformée de Fourier inverse de , on obtient facilement, pour la définition fréquentielle, que 

Pour la définition standard de la transformée de Fourier, cette formule devient  avec , et pour la définition pulsatoire, elle devient

Cette formule permet l'utilisation de l'imposante machinerie disponible pour la transformation de Fourier (convolution, décalage, produit, distributions, tables, etc.) pour le calcul des coefficients de Fourier d'une fonction périodique.
On peut ainsi facilement obtenir la série de Fourier de trains d'ondes pulsées de forme carrée, triangulaire, demi-sinusoïdale, etc.

Par exemple, quelle est la série de Fourier correspondant à un train de pulses étroits, de masse 1 et de période T grande relativement à la durée des pulses ? 
Approximons chaque pulse par un Dirac . La transformée de Fourier fréquentielle de  est la fonction identiquement égale à 1 (voir table ci-dessous). Donc la formule précédente donne 
Ainsi la série de Fourier du train de pulses est 

(au sens des distributions).

Autre interprétation 
Comme on l'a vu plus haut, il est d'autre part possible d'interpréter l'intégrale de la transformée de Fourier comme une somme finie de n oscillateurs harmoniques, où n est un entier non standard ; cela revient à identifier (en un sens différent) la transformation de Fourier aux coefficients d'une série de Fourier.

Transformée 

On utilise les variables normalisées suivantes : , .

Généralisation 

La transformée de Fourier se généralise pratiquement telle quelle aux groupes abéliens localement compacts, grâce à la dualité de Pontryagin.

En traitement d'images, on effectue des transformations de Fourier à deux dimensions : si  est une fonction de ℝ dans ℝ, sa transformée de Fourier est définie par :
 .

Tables des principales transformées de Fourier 
Les tableaux suivants présentent les transformations de Fourier de certaines fonctions. Les transformées de Fourier de ,  et  sont notées respectivement ,  et . N'apparaissent que les trois conventions les plus courantes. Il peut être utile de noter que l'entrée sur la dualité indique une relation entre la transformée de Fourier d'une fonction et la fonction d'origine, ce qui peut être considéré comme une relation entre la transformation de Fourier et son inverse.

Relations entre fonctions à une variable 
Les transformées de Fourier de ce tableau sont traitées dans  ou .

Fonctions de carré intégrable à une variable 
Les transformées de Fourier de ce tableau peuvent être trouvées  dans les deux références précédentes ou dans .

Distributions à une variable 
Les transformées de Fourier de ce tableau sont traitées dans  ou dans .

Fonctions de deux variables

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Densité spectrale
 Densité spectrale de puissance
 Produit de convolution
 Transformation de Fourier rapide
 Transformation de Fourier discrète
 Théorème d'inversion de Fourier
 Transformation de Laplace
 Transformation de Hankel
 Transformation de Mellin
 Bispectre
 Spectroscopie transformée de Fourier

Bibliographie 
 Jean-Michel Bony, Cours d'analyse, Éditions de l'École Polytechnique
 Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, Presses polytechniques et universitaires romandes, 1998

Liens externes 
 Alain Yger, Espaces de Hilbert et analyse de Fourier (2008), cours de  de licence, université Bordeaux I
 , programme éducatif sur les transformées de Fourier d'images
 J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur (1822), chap. III (fondements de la transformée de Fourier), en ligne et commenté sur le site BibNum
 Œil et physiologie de la vision : « les signaux électrophysiologiques ».

Mécanique ondulatoire
Spectroscopie
Théorie de Fourier
Fourier