Espace localement annelé
Le concept d'espace localement annelé est commun à différents domaines de géométrie, mais est plus utilisé en géométrie algébrique et en géométrie analytique complexe.

Définition  

Un espace localement annelé est un espace topologique X muni d'un faisceau d'anneaux commutatifs OX, appelé faisceau structural, tel qu'en tout point, l'anneau des germes de OX soit un anneau local.

Si A est un anneau (commutatif unitaire), un espace localement annelé dont le faisceau structural est un faisceau de A-algèbres est appelé un espace localement annelé sur A. 

Exemples 
 les schémas ;
 les variétés différentielles, munies de leurs fonctions C ∞  à valeurs dans ℂ ;
 les variétés complexes, munies de leurs fonctions holomorphes à valeurs dans ℂ ;
 les variétés algébriques.

Un sous-espace ouvert de  est une partie ouverte  munie du faisceau d'anneaux . Le couple  est un espace localement annelé.

Corps résiduel  

Soit  un point de . Soit  l'idéal maximal de l'anneau local . Le quotient  est le corps résiduel de  en .  Si  est un voisinage ouvert de , alors  et  ont le même corps résiduel en . 

Par exemple, Si  est une variété algébrique, alors  appartient à un voisinage ouvert affine . Le point  correspond à un idéal maximal  de , et le corps résiduel  est égal à . 

Pour les variétés complexes (resp. différentielles), les corps résiduels sont tous égaux à ℂ (resp. ℝ).

Morphismes
Un morphisme entre deux espaces localement annelés (X, OX) et (Y, OY) est la donnée d'une application continue f : X → Y et d'un morphisme de faisceaux d'anneaux f# : OY → f*OX tel que pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux OY, f(x) → OX, x induit par  f# soit un morphisme d'anneaux locaux (c'est-à-dire qu'il envoie l'idéal maximal de l'anneau source dans l'idéal maximal de l'anneau but). Quand il n'y a pas d'ambiguïté possible, on note souvent le morphisme  par .

Un exemple trivial de morphisme est l'identité d'un espace dans lui-même. On peut naturellement composer deux morphismes ,  pour obtenir un morphisme . Un isomorphisme est un morphisme  qui admet un morphisme inverse, c'est-à-dire dont la composition (à gauche ou à droite) avec  est égale à l'identité. 

Un morphisme (f, f#) : (X, OX) → (Y, OY) est une immersion si f est une immersion au sens topologique (c'est-à-dire que f induit un homéomorphisme de X sur son image), et si pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux OY, f(x) → OX, x est surjectif.

Exemple 
Soit  un point de . Alors l'espace topologique  muni du faisceau constant  est un espace localement annelé, et on a un morphisme   qui est l'inclusion canonique  au niveau du point . C'est une immersion.

Espace tangent

Soit  un point de . Soit  l'idéal maximal de l'anneau local . Alors le quotient  est un espace vectoriel sur . Son dual s'appelle l'espace tangent de Zariski de  en . C'est surtout en géométrie algébrique qu'on utilise cette approche. 
Cependant, dans le cas des variétés différentielles et variétés analytiques complexes, cette notion coïncide avec la définition standard.

Référence  
A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Chapitre 0, § 4 

 

Géométrie algébrique