Géométrie non euclidienne
La géométrie non euclidienne (GNE) est, en mathématiques, une théorie géométrique ayant recours aux axiomes et postulats posés par Euclide dans les Éléments, sauf le postulat des parallèles.

Les différentes géométries non euclidiennes sont issues initialement de la volonté de démontrer la proposition du cinquième postulat, qui apparaissait peu satisfaisant en tant que postulat car trop complexe et peut-être redondant avec les autres postulats).

Préambule 
Dans les Éléments d'Euclide, l'axiome des parallèles ressemble à la conclusion d'un théorème, mais qui ne comporterait pas de démonstration :

qu'on peut comprendre comme :

Durant plusieurs siècles, la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l'on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l'archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse.

Approche intuitive de la géométrie non euclidienne 

En 1902, Henri Poincaré propose un modèle simple dans lequel le cinquième postulat d’Euclide n’est pas valable. La droite est ici définie par extension comme la courbe de plus court chemin qui joint deux points de l’espace considéré.

Étienne Ghys commente ce texte de la façon suivante :

Histoire des géométries non euclidiennes 
Les géométries à n dimensions et les géométries non euclidiennes sont deux branches séparées de la géométrie, qui peuvent être combinées, mais pas obligatoirement. Une confusion s'est établie dans la littérature populaire à propos de ces deux géométries. Parce que la géométrie euclidienne était à deux ou trois dimensions, on en concluait, à tort, que les géométries non euclidiennes comportaient nécessairement des dimensions supérieures.

Antiquité 
La préhistoire de la géométrie non euclidienne est la longue suite de recherches et de tentatives d'éclaircissement du cinquième postulat d'Euclide (l'axiome des parallèles ). Ce postulat — notamment car il fait appel au concept d'infini — a toujours paru un peu « à part » et non évident aux mathématiciens, qui ont cherché soit à le remplacer par un postulat plus simple et plus direct, soit à le démontrer à partir des autres postulats d'Euclide. Ainsi, les mathématiciens arabes et perses dont notamment Thābit ibn Qurra, Alhazen, et surtout Omar Khayyam ont étudié les liens entre le postulat des parallèles et la somme des angles des quadrilatères et des triangles. Khayyam propose ainsi dès le  une alternative au cinquième postulat d'Euclide, et des tentatives de démonstration de ce postulat par l'absurde.

Au , John Wallis et surtout Giovanni Girolamo Saccheri se sont inspirés des travaux de ces mathématiciens et ont tenté de démontrer le postulat des parallèles. Saccheri consacra sa vie entière à essayer de démontrer le postulat des parallèles par l'absurde, sans y parvenir. Mais, postulant « l'hypothèse de l'angle aigu », qui postule que la somme des angles d'un quadrilatère est inférieure à quatre angles droits, non seulement il n'aboutit à aucune contradiction mathématique flagrante, mais de plus il découvre tout un ensemble de nouveaux théorèmes, cohérents et riches. Il est sur le point de découvrir une géométrie non euclidienne (la géométrie hyperbolique, dans laquelle l'espace peut admettre une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un point hors de cette droite), mais il n'acceptera jamais ces nouveaux théorèmes qu'il considère comme « répugnants ».

Reprenant les travaux de Saccheri en 1766, Jean-Henri Lambert reprend l'hypothèse de l'angle aigu, mais ne conclut pas à une contradiction. Il réalise, au moins dans les toutes dernières années de sa vie, qu'il doit être possible de bâtir des géométries cohérentes, soit à partir de l'hypothèse de l'angle aigu (géométrie hyperbolique), soit celle de l'angle obtus (géométrie elliptique).

Lambert obtient notamment la formule , où  est une constante, qui donne l'aire  d'un triangle dont les trois angles sont ,  et  dans une géométrie fondée sur l'angle aigu (nommée de nos jours une géométrie hyperbolique).

Gauss, dès 1813, a formulé la possibilité qu'il existe d'autres géométries que celle d'Euclide. Cependant il n'a jamais osé publier les résultats de ses réflexions en ce sens « par crainte des cris des Béotiens », comme il l'écrivit lui-même.

On distingue les géométries à courbure négative, comme celle de Lobatchevski (1829) et Bolyai (1832) (somme des angles d'un triangle inférieure à 180°, nombre infini de parallèles possibles à une droite par un point, par exemple la géométrie hyperbolique), des géométries à courbure positive comme celle de Riemann (1867) (somme des angles d'un triangle supérieure à 180°, parallèles se rejoignant aux pôles, par exemple la géométrie elliptique).

La géométrie communément appelée « géométrie de Riemann » est un espace sphérique à trois dimensions, espace fini et cependant sans bornes, à courbure positive régulière, alternative au postulat euclidien des parallèles. Riemann a conçu par ailleurs une théorie étendue des géométries non euclidiennes à n dimensions (conférence de 1854). 

L'idée de « géométrie non euclidienne » sous-entend généralement l'idée d'un espace courbe, mais la géométrie d'un espace courbe n'est qu'une représentation de la géométrie non euclidienne, précise  dans  (Londres, 1914). Il existe des espaces non euclidiens à trois dimensions.

Différents types de géométrie non euclidienne

Géométrie hyperbolique 

Lobatchevski, Klein et Poincaré ont créé des modèles de géométrie dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point. 

Il est remarquable que seul le cinquième postulat d'Euclide ait été levé ; les géométries non euclidiennes respectent par ailleurs toutes les autres définitions d'Euclide. En particulier, une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Il existe plusieurs modèles de géométrie hyperbolique à deux dimensions : le disque de Poincaré, le demi-plan de Poincaré…

Géométrie elliptique 

Riemann a introduit un autre modèle de géométrie non euclidienne, la géométrie sphérique (parfois appelée géométrie elliptique sphérique). Dans ce cas, par un point extérieur à une droite, on ne peut mener aucune parallèle (autrement dit, toutes les droites passant par un point extérieur à une droite donnée sont sécantes à cette droite, ou encore toutes les droites de l'espace sont sécantes entre elles). Le modèle est très simple : 
 les points sont les paires de points antipodes d'une sphère ;
 les droites sont les grands cercles (c'est-à-dire les cercles ayant le même centre que la sphère).

Cette géométrie donne une courbure positive de l'espace (la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits, ou la somme de deux angles successifs d'un quadrilatère est supérieure à deux droits, ou encore il existe un triangle dont tous les angles sont droits).

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Bibliographie

Aspects historiques 
 Luciano Boi, Le problème mathématique de l'espace - Une quête de l'intelligible, Springer-Verlag (1995) 
  Marvin J. Greenberg, Euclidean & Non-Euclidean geometries - Development & History, W.H. Freeman & Co., New-York ( édition-1996)
  Max Jammer, Concepts of space - The history of theories of space in physics, Dover Publications, Inc. ( édition-1993)
 
 
 A. Papadopoulos et Guillaume Théret, La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert (édition critique du mémoire de Lambert, traduction française, avec commentaires mathématiques et historiques), éd. Blanchard, coll. Sciences dans l'Histoire, Paris, 214 p., 2014.

Ouvrages de mathématiques 
 
  Norbert A'Campo et Athanase Papadopoulos, Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1--182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, 2012 , 
 
 
  Jean-Marc Daudonnet, Bernard Fischer, Courbure des surfaces. Introduction aux géométries non euclidiennes, JIPTO 2009 
  (Première partie : géométrie des surfaces, des groupes de transformations et des champs).
  Birger Iversen, Hyperbolic Geometry, London Mathematical Society Student Texts 25, Cambridge University Press, 1992 
  Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010

Ouvrages pour physiciens théoriciens 
  Yvonne Choquet-Bruhat et Cécile DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds and Physics - Part I: Basics, North-Holland, 1989 
  Theodore Frankel, The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press, 2004,  éd. révisée et illustrée 
  Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Institute of Physics Publishing, 2003,  éd. illustrée 
  Charles Nash et Siddhartha Sen, Topology and Geometry for Physicists, Academic Press, 1983

Ouvrages de philosophie 
 Gaston Bachelard, Le nouvel esprit scientifique, 1934.
 Imre Toth, Liberté et vérité. Pensée mathématique et spéculation philosophique, Paris, Éditions de l'Éclat, 2009, 144 p. 
 Imre Toth, Palimpseste. Propos avant un triangle, Paris, Presses universitaires de France, 2000, 528 p., .

Aspects ludiques 
Jean-Pierre Petit, Le Géométricon, bande dessinée de la collection Les Aventures d'Anselme Lanturlu, éd. Belin,

Articles connexes

Liens externes 
 
 
 
   
 Promenade non euclidienne, conférence donnée par Charles Boubel, ENS Lyon.
 Tractrices, pseudosphère
 Géométries planes non euclidiennes sur le site universitaire associé à Cabri Géomètre
 Plan hyperbolique, par Xavier Hubaut

Axiome de la géométrie
Relativité générale
Henri Poincaré