Identité d'Euler
En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :

où la base  du logarithme naturel représente l'analyse, l'unité imaginaire  représente l'algèbre, la constante d'Archimède  représente la géométrie, .

Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748. Avant d'être citée par Euler, cette formule était connue du mathématicien anglais Roger Cotes, mort en 1716.

Démonstration

Par l'analyse complexe 
Puisque  et , cette formule est le cas particulier  de la formule d'Euler en analyse complexe (pour tout nombre réel ).

C'est aussi le cas particulier n = 2 de la nullité de la somme des racines n-ièmes de l'unité.

Par la géométrie 

L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.

or, les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées  est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles.

Beauté mathématique 
L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique.

En effet, outre l'égalité, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales :
 0, l'élément neutre de l'addition.
 1, l'élément neutre de la multiplication.
 , omniprésente en trigonométrie, en géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique ( = 3,14159265...)
 , base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières ( =  2,718281828...). Tout comme , c'est un nombre transcendant.
 , l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont permis l'étude de la résolution des équations polynomiales avant de voir leur usage élargi.

L'inventaire de ces différents éléments est mieux mis en évidence par la notation polonaise inverse de la formule d'Euler :
0 ; 1 ; e ; i ;π ;  * ; ^ ; +; =
De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.

On en déduit que l'exponentielle complexe est -périodique.

Hommages 

Paul J. Nahin, professeur émérite de l'université du New Hampshire, écrit dans son ouvrage consacré à l'identité d'Euler et ses applications en analyse de Fourier que la formule définit .

Quand l'identité d'Euler fut révélée à Benjamin Peirce, il déclara : .

Le célèbre physicien Richard Feynman la considère même comme .

L'identité d'Euler apparaît également dans le roman La Formule préférée du professeur de Yōko Ogawa.

Histoire 
Le mathématicien anglais Roger Cotes (mort en 1716, quand Euler avait seulement ) connaissait cette identité. Euler pourrait en avoir appris l'existence par son compatriote suisse Johann Bernoulli.

Notes et références 

Analyse complexe
Identite d'Euler
Euler
Leonhard Euler

pl:Wzór Eulera#Tożsamość Eulera