Intégrale de Riemann
En mathématiques et plus particulièrement en analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon de définir l'intégrale, sur un segment, d'une fonction réelle. En termes géométriques, cette intégrale s'interprète comme l'aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement.

Le procédé général utilisé pour définir l'intégrale de Riemann est l'approximation par des fonctions en escalier, pour lesquelles la définition de l'aire sous la courbe est aisée.
Les fonctions, définies sur un segment, pour lesquelles cette définition est possible sont dites intégrables au sens de Riemann (ou Riemann-intégrables). C'est le cas notamment des fonctions monotones ou continues par morceaux, ou même seulement réglées.

La notion d'intégrale établie par Bernhard Riemann se base sur ce que l'on appelle aujourd'hui les sommes de Riemann. Le mathématicien Gaston Darboux a ultérieurement défini une notion d'intégrale, quant à elle, basée sur les sommes de Darboux (ou de manière équivalente sur les fonctions en escalier). Il s'avère que ces deux approches donnent exactement la même notion d'intégrale.

Définition 

Soit  un segment inclus dans . Une subdivision de ce segment est la donnée d'une suite finie de points  telle que . Une subdivision marquée est la donnée d'une telle subdivision et d'une suite associée  telle que  pour tout . Le pas d'une subdivision est la distance maximale entre deux  consécutifs, c'est-à-dire, . On note  l'ensemble des subdivisions marquées de  dont le pas est inférieur ou égal à .

La définition originelle par Riemann de son intégrale utilisait les sommes de Riemann :

Précisons le sens de la limite évoquée dans la définition. Dire qu'une fonction  est intégrable d'intégrale  (au sens de Riemann) c'est dire que, pour tout réel , il existe un réel  tel que pour toute subdivision marquée  de pas inférieur ou égal à  on a

Une approche équivalente à celle de Riemann présentée ci-dessus passe par l'intégrale de Darboux. La définition donnée par Riemann est équivalente à celle de Darboux même si cela n'est pas immédiat et nécessite une preuve. L'approche de Darboux pour définir l'intégrale de Riemann est préférée à celle originellement effectuée par ce dernier dans de nombreux ouvrages d'introduction à l'analyse.

Propriétés

Bornes 
Toute fonction Riemann-intégrable est bornée.

À noter que, dans le formalisme de Darboux, les fonctions sont supposées être bornées dès le début afin de garantir l'existence des sommes de Darboux. Cette hypothèse n'est pas nécessaire avec le formalisme de Riemann. Puisque ces deux approches sont équivalentes, il fallait donc bien que l'intégrabilité au sens de Riemann implique l'existence de bornes finies.

Restrictions 
L'intégrale de Riemann se comporte bien vis-à-vis de la restriction d'une fonction : si une fonction est Riemann-intégrable sur un segment, alors elle l'est encore sur tout segment inclus.Réciproquement, si une fonction est bornée et intégrable sur tout segment strictement inclus, alors elle est intégrable sur le segment entier.La première propriété est pratique car permet de considérer les intégrales restreintes  pour tout  et toute fonction  Riemann-intégrable. Cela permet de justifier l'existence des intégrales mentionnées dans la relation de Chasles. Cela permet aussi de justifier l'existence de la fonction pour une fonction  Riemann-intégrable.

Relation de Chasles 
La relation de Chasles permet de découper une intégrale en plusieurs morceaux. Cela peut s'avérer utile dans l'étude d'une intégrale en autorisant à observer l'intégrale sur plusieurs parties plus petites sur lesquelles l'analyse est simplifiée.

Un simple raisonnement par récurrence implique que la relation de Chasles peut être répétée plusieurs fois si l'on décompose le segment en une subdivision. Plus précisément, si  est Riemann-intégrable et si  est une subdivision de  alors

Linéarité et stabilité 
Une propriété clef de l'intégrale est sa linéarité.L'intégrabilité au sens de Riemann est donc stable par combinaison linéaire. Elle est aussi stable par produit : le produit de deux fonctions Riemann-intégrables est Riemann-intégrable.Bien que le produit soit intégrable, il est faux de dire que l'intégrale du produit est égal au produit des intégrales. Par exemple si l'on prend  et  alors ces deux fonctions sont intégrables sur  mais

Un produit de fonction peut être intégrable sans qu'aucun membre du produit ne le soit. Par exemple, en prenant  l'indicatrice des rationnels et , on a que ni , ni  ne sont intégrables sur , pourtant leur produit, qui vaut 0, est bien intégrable sur ce segment.

La stabilité par produit est spécifique à l'intégrale de Riemann sur un segment. Cette propriété n'est en général pas vérifiée pour l'intégrale de Riemann généralisée à un intervalle quelconque. Elle ne l'est pas non plus pour l'intégrale de Lebesgue. Par exemple si l'on prend  sur  alors ces fonctions sont intégrables sur  au sens des intégrales généralisées de Riemann et aussi au sens des intégrales de Lebesgue, cependant leur produit ne l'est pas.

La Riemann-intégrabilité est aussi stable par composition avec une fonction continue.

Positivité, croissance et Inégalité triangulaire 
L'intégrale de Riemann est positive dans le sens où l'intégrale d'une fonction Riemann-intégrable positive est positive. De manière plus générale, l'intégrale de Riemann est croissante, c'est-à-dire :

La positivité vient simplement en utilisant la croissance avec  et en constatant que l'intégrale de la fonction nulle est nulle par linéarité.

L'inégalité du théorème suivant peut s'apparenter à l'inégalité triangulaire pour l'intégrale de Riemann. En effet, par une simple récurrence, l'inégalité triangulaire classique implique que pour une somme finie de nombres réels on a En passant de la somme à l'intégrale (qui s'interprète comme une sorte de somme infinie) on obtient alors le théorème suivant :Ce théorème s'obtient en appliquant la propriété de croissance, en observant que  et .

Le fait que l'intégrabilité de  équivaille à celle de  reste vrai, par définition, pour les intégrales généralisées de Riemann à un intervalle quelconque et pour l'intégrale de Lebesgue. En revanche dire que l'intégrale impropre de Riemann de  existe et est finie n'implique pas forcément que  est intégrable sur un intervalle non fermé. Un exemple connu est la fonction  qui admet une intégrale impropre de Riemann finie sur  mais n'y est pas intégrable. Pour l'intégrale de Lebesgue, l'intégrabilité équivaut encore à l'existence d'une intégrale finie.

Théorèmes de convergence 

L'intégrale d'une limite uniforme est la limite des intégrales. Plus précisémentEncore une fois, cette propriété est spécifique à l'intégrale de Riemann sur un segment. Elle devient fausse en général sur un intervalle quelconque lorsque l'on considère l'intégrale de Riemann généralisée ou encore l'intégrale de Lebesgue. Par exemple les fonctions  où  sont bien intégrables sur  pour tout entier  et convergent uniformément vers . Cependant cette dernière n'est pas intégrable sur  (ni au sens de Riemann généralisé, ni au sens de Lebesgue).
Le théorème suivant peut s'apparenter au théorème de convergence dominée (TCD) pour l'intégrale de Lebesgue. Seule la notion de convergence simple est requise (ce qui est plus faible que la notion de convergence uniforme). Il faut cependant ajouter une condition de domination pour obtenir la convergence des intégrales. La différence avec le TCD est que la limite est ici supposée Riemann-intégrable alors qu'elle n'a pas besoin d'être supposée Lebesgue-intégrable dans le TCD.

Fonctions en escalier et fonctions réglées 

Une fonction en escalier sur un segment  est une fonction  telle qu'il existe une subdivision  de ce segment telle que  est constante, sur chaque sous-intervalle  de la subdivision. Pour une telle fonction on a

où  correspond à la valeur prise par  sur .

En particulier, une fonction constante pouvant être vue comme une fonction en escalier d'une seule marche, on a

Une manière de définir l'intégrale de Darboux, qui est équivalente à l'intégrale de Riemann, est de passer par les fonctions en escalier pour lesquelles on définit l'intégrale avec la formule ci-dessus. Cette formule peut donc être vue comme une définition ou une propriété en fonction du formalisme choisi.

Comme le stipule le théorème de convergence uniforme, toute limite, pour la norme uniforme, d'une suite de fonction Riemann-intégrable sur un segment  est Riemann-intégrable. Les fonctions réglées, constituant exactement toutes les limites uniformes possibles de suites de fonctions en escaliers, sont donc toutes Riemann-intégrables. En particulier, toute fonction continue ou juste continue par morceaux sur  (ou même seulement bornée et continue sauf en un nombre fini de points) est Riemann-intégrable, ainsi que toute fonction monotone (ou même seulement monotone par morceaux).

Théorèmes fondamentaux de l'analyse 

Soit  une fonction Riemann-intégrable. On définit la fonction

De manière générale la fonction  est continue, elle est même lipschitzienne.Il est faux en général de dire que  est dérivable partout, en revanche elle l'est en tout point de continuité de . Cela aboutit au premier théorème fondamental de l'analyse.Si  est continue sur  alors  est une primitive de . Si  est réglée, alors son ensemble de discontinuité est au plus dénombrable et donc  est une primitive généralisée de . De manière générale, puisque  est Riemann-intégrable, son ensemble de discontinuité est négligeable pour la mesure de Lebesgue et donc  est dérivable sur un ensemble de complémentaire négligeable.
Le deuxième théorème fondamental de l'analyse donne une manière efficace de calculer l'intégrale d'une fonction dès lors que l'on connaît l'une de ses primitives.

Théorèmes de la moyenne 

Les deux théorèmes classiques suivants sont dus au mathématicien français Pierre-Ossian Bonnet.

Intégration par parties 

Le théorème suivant est un outil indispensable de calcul d'intégrales.

Changement de variable 

Le théorème suivant est aussi un outil incontournable de calcul d'intégrales.

Structure 
Plusieurs des propriétés ci-dessus (à savoir : linéarité, stabilité par produit, positivité et théorème de convergence uniforme) peuvent être synthétisées par le théorèmes suivant.

Il est fréquent de doter l'espace des fonctions continues sur un segment d'un produit scalaire associé à l'intégrale.

Il est nécessaire de considérer l'ensemble des fonctions continues et pas seulement des fonctions Riemann-intégrables pour que la fonction  soit définie (c'est-à-dire ). En effet on a le résultat suivantSans l'hypothèse de continuité, cela devient faux. Par exemple la fonction qui vaut 1 en 0 et 0 partout ailleurs est positive et intégrable sur n'importe quel segment et son intégrale y est nulle. Cependant cette fonction n'est pas constamment nulle.

Généralisations

Fonctions à valeurs dans ℂ ou ℂ 
On peut généraliser la notion d'intégrale de Riemann à une fonction  à valeurs complexes en posant

où  désigne la partie réelle de  et  sa partie imaginaire. La condition pour que cette intégrale existe est que les parties réelles et imaginaires de  soient toutes deux Riemann-intégrables.

De la même manière on peut généraliser la notion d'intégrale de Riemann à une fonction  à valeurs dans  en posant

La plupart des propriétés de l'intégrale de Riemann pour des fonctions à valeurs réelles restent, mutatis mutandis, valables pour ces généralisations.

Intégrales impropres 

On peut généraliser la notion d'intégrale de Riemann en intégrant, non plus sur un segment, mais plutôt sur un intervalle réel quelconque.

Intégrale de Lebesgue 

Une autre manière de généraliser l'intégrale de Riemann est de considérer un procédé d'intégration plus fort, par exemple celui de Lebesgue. D'une part, la notion d'intégrale de Lebesgue est plus forte dans le sens où elle ne se restreint pas qu'à des fonctions définies sur un segment réel. D'autre part, même en se restreignant aux fonctions définies sur un segment, l'intégrale de Lebesgue reste plus générale comme l'atteste le théorème suivant.

La réciproque est fausse. Par exemple la fonction indicatrice des rationnels sur le segment  est bornée et Lebesgue-intégrable (son intégrale au sens de Lebesgue valant 0). Pourtant elle n'est pas Riemann-intégrable. L'intégrale de Lebesgue est donc strictement plus forte que celle de Riemann sur un segment réel. En revanche, sur un intervalle quelconque, il ne faut pas croire que l'intégrale de Lebesgue est plus générale que l'intégrale impropre de Riemann. Par exemple la fonction  ne possède pas d'intégrale au sens de Lebesgue sur  mais y possède une intégrale impropre de Riemann convergente.

Le théorème suivant donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit Riemann-intégrable.
L'ensemble des discontinuités peut être de mesure nulle sans être fini ou dénombrable, comme pour la fonction caractéristique de l'ensemble de Cantor, qui n'est donc pas réglée. On remarque que la mesure de Lebesgue de l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction existe toujours car ce dernier est toujours un borélien.

Comparaison avec d'autres procédés d'intégration 
Un autre aspect de l'intégrale de Riemann est qu'elle ne concerne dans un premier temps que les fonctions bornées, sur un intervalle borné. Il faut une deuxième définition si l'une de ces conditions n'est pas vérifiée : voir Intégrale impropre. Dans le cadre de l'intégration au sens de Lebesgue il n'y a qu'une seule définition et par exemple  est une intégrale de Lebesgue au sens strict tandis que comme intégrale de Riemann elle est une intégrale impropre. De même pour . Cependant les intégrales au sens de Lebesgue sont toujours automatiquement absolument convergentes. Ainsi, l'intégrale  n'est ni une intégrale de Riemann au sens propre, ni une intégrale de Lebesgue, mais elle est une intégrale généralisée de Riemann (ou de Lebesgue), et sa valeur est . En désignant par  la somme de  et de la fonction indicatrice des rationnels positifs on voit que  donne un exemple d'une intégrale de Lebesgue généralisée qui n'existe pas en tant qu'intégrale de Riemann. Sa valeur est encore .
On obtient un procédé d'intégration plus général et plus satisfaisant, notamment vis-à-vis du passage à la limite, en introduisant l'intégrale de Lebesgue ou celle de Kurzweil-Henstock.

Une différence importante entre l'intégrale de Riemann et celle de Lebesgue est que dans cette dernière, on y remplace les fonctions en escalier par les fonctions étagées qui sont des combinaisons linéaires finies de fonctions indicatrices d'ensembles qui ne sont pas nécessairement des intervalles. La longueur de l'intervalle est remplacée par la mesure de l'ensemble.

Notes et références

Articles connexes 
 Intégrale de Daniell
 Intégrale de Stieltjes
 Intégrale d'Itō
 Mesure de Jordan

Théorie de l'intégration
Analyse réelle
Integrale