Théorème de Green
En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann, donne la relation entre une intégrale curviligne le long d'une courbe simple fermée orientée C par morceaux et l'intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe.

Ce théorème, nommé d'après George Green et Bernhard Riemann, est un cas particulier du théorème de Stokes.

Énoncé

Notation alternative 
Vu comme cas particulier du théorème de Stokes, le théorème s'écrit sous la forme suivante, en notant  la courbe C et  la forme différentielle. Alors, la dérivée extérieure de  s'écrit :

et le théorème de Green se résume par :

Le cercle sur l'intégrale précise que le bord  est une courbe fermée (orientée). Changer l'orientation de la courbe change le signe de l'intégrale curviligne. L'orientation du bord ∂D se fait intuitivement de telle façon qu'un point le parcourant doit avoir le domaine D constamment sur sa gauche.

On peut aussi interpréter  comme la circulation du champ de vecteurs  défini sur un ouvert du plan contenant .

Démonstration dans un cas simplifié 

Montrons que  en supposant que le domaine  peut être décrit par :
  
où  et  sont des fonctions de classe C sur  qui coïncident en  et .

Le théorème de Fubini donne :

Or , de sorte que :

Or l'arc orienté  peut être décomposé en deux sous-arcs :
 où t croît de  à 
et
 où t décroît de  à .

L'intégrale curviligne  est donc :
  qui est bien l'expression obtenue ci-dessus.

On montre de même que  en supposant que le domaine  peut être décrit comme étant :
  
où  et  sont des fonctions de classe C sur  qui coïncident en  et  :

Utilisations 
Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

Calculs d'aires 
L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. Cette méthode est concrètement appliquée dans les planimètres.

Soit D un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit C = ∂D sa frontière, orientée positivement par rapport à D. On a :

en prenant respectivement  égal à , ou bien , ou enfin , chacun de ces trois cas vérifiant

Aire d'une astroïde 
On traite ici l'exemple d'une astroïde, dont le bord C est paramétré par :

t variant de 0 à . En prenant  et , on obtient :

Après linéarisation, on en déduit que l'aire de l'astroïde est égale à .

Aire d'un polygone
Pour un polygone simple à  sommets  numérotés dans le sens trigonométrique positif, avec , on obtient

ou encore

expression qui peut s'interpréter comme la somme des aires des triangles .

Note : dans la première relation, on observe qu'une translation ne modifie pas l'aire.

Méthode mathématique de la physique
Green
Analyse vectorielle