Paire
Une paire est un ensemble qui comprend exactement deux éléments.

Remarques 
  Une paire qui contient deux éléments  et  se note .
 L'ordre d'écriture de la paire n'a pas d'importance: . Ceci différencie la paire du couple.
 Le cardinal d'une paire est 2.
 L'ensemble  n'est pas une paire mais un singleton et se note aussi .

Exemples 
 (avec une espace après la virgule) est la paire comprenant les entiers  et .
 est une paire de fonctions.
 est une paire composée du singleton  et de la paire .
 est une paire composée du nombre  et de l'élément .
 alors que

Propriétés

Appartenance d'un élément à une paire (ou à un singleton) 
Un élément x appartient à une paire si et seulement s'il est égal à l'un des deux éléments de cette paire. Cet énoncé est en fait tout autant valable pour un singleton. On peut donc l'écrire  formellement, pour a et b donnés : 
∀x,  x ∈ {a, b} ⇔ (x = a ou x = b)
(le « ou » en question désigne, comme d'habitude en mathématiques, une disjonction inclusive : l'énoncé reste vrai si x = a et x = b).

Cette proposition caractérise les paires (ou singletons). Dans l'axiomatisation de la théorie des ensembles, il y a un axiome spécifique, appelé axiome de la paire, qui exprime pour tout  et  l'existence d'une paire  et qui se fonde sur cette proposition.

Égalité de deux paires 

Deux paires sont égales si et seulement si leurs éléments sont égaux deux à deux, de l'une des deux façons dont on peut les associer. Plus précisément, pour deux paires ou singletons {a, b} et {c, d} : 
{a, b} = {c, d} ⇔ [(a = c et b = d) ou (a = d et b = c)].

Autres propriétés 
Un raisonnement simple de dénombrement montre que le nombre de paires d'un ensemble fini à  éléments est égal à  (voir l'article « Combinaison »).

Histoire 
Von Neumann, dans son article de 1923, qui est un des premiers sur la théorie des ensembles, note les paires , comme nous noterions aujourd'hui les couples. Remarquons qu'il définit l'entier  comme étant la paire , qu'il écrit .

Notes et références

Notes

Références 

Théorie des ensembles