Image directe
L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application f : X  	
→ Y est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont, par f, au moins un antécédent appartenant à A :

Exemples
On définit en particulier l'image d'une application f définie sur X :
On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie A de X, avec l'image par f d'un élément x de X, ou avec l'image de l'application f.
Considérons l'application f de {1, 2, 3} dans {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c et f(3) = d. L'image directe de {2, 3} par f est f({2, 3}) = {c, d} tandis que l'image de f est {a, c, d}.

Propriétés élémentaires

Pour toutes parties  et  de ,Plus généralement, pour toute famille  de parties de ,
Pour toutes parties  et  de ,et cette inclusion peut être stricte, sauf si  est injective.On peut même prouver que  est injective si et seulement si pour toutes parties  et  de , on a .
Plus généralement, pour toute famille non vide  de parties de ,.
Toute partie B de Y contient l'image directe de son image réciproque f(B) ; plus précisément :En particulier, si  est surjective alors . 
On peut même prouver que  est surjective si et seulement si pour toute partie  de  on a .
(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)
Toute partie A de X est contenue dans l'image réciproque de son image directe :et cette inclusion peut être stricte, sauf si  est injective. On peut même prouver que  est injective si et seulement si pour toutes parties  de , on a .
 Si l'on considère de plus une application , alors l'image directe d'une partie A de X par la composée  est :
.

Notes et références

Articles connexes
Théorie naïve des ensembles
Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)

Théorie des ensembles