Produit direct
La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, . C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.

Produit direct de deux magmas 
Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne  et F un ensemble muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne  sur le produit cartésien E×F de la façon suivante :

Propriétés 
 Si  et  sont associatives, alors la loi  est associative.
 Si  et  sont commutatives, alors la loi  est commutative.
 Si  admet un élément neutre e et si  admet un élément neutre f, alors  est neutre pour .
 Si de plus x admet un symétrique x' pour  et si y admet un symétrique y' pour , alors (x, y) admet (x, y) comme symétrique.

Produit direct de magmas 
Soit (E) une famille d'ensembles, chaque E étant muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne  sur le produit cartésien ∏ E de la façon suivante :

Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou infini.

Propriétés 
 Si chaque loi  est associative, la loi  est associative.
 Si chaque loi  est commutative, la loi  est commutative.
 Si chaque loi  possède un élément neutre e (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche), la famille (e) est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour .
 Si chaque loi  possède un élément neutre et si dans chaque E, un élément quelconque x possède un symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) y, alors la famille (x) admet la famille (y) comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).

En particulier, le produit direct d'une famille de groupes est un groupe.

Produit direct d'anneaux 

Soit (E) une famille d'ensembles, chaque E étant muni de deux lois  et . On peut comme précédemment définir une loi , produit direct des
 et une loi , produit direct des lois .

Si chaque loi  est distributive par rapport à la loi , alors la loi  est distributive par rapport à la loi .

En particulier, si chaque E est muni d'une structure d'anneau, on construit ainsi un anneau produit direct.

Produit direct d'espaces vectoriels 
Soit une famille (E) d'espaces vectoriels sur un même corps K. Les lois suivantes font du produit cartésien ∏ E un K-espace vectoriel, appelé produit de la famille (E) :

Le vecteur nul est la famille (0) formée par les vecteurs nuls des espaces E.

Lorsque tous les E sont égaux à un même K-espace vectoriel E (par exemple à K, vu comme K-droite vectorielle), ∏ E est l'espace vectoriel E des applications de I dans E.

Notes et références

Article connexe 
Somme directe

Algèbre générale

ru:Прямое произведение#Прямое произведение групп