Logarithme intégral
En mathématiques, le logarithme intégral  est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif   par l'intégrale :

où  désigne le logarithme népérien.

La fonction  n'est pas définie en , et l'intégrale pour  doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy :

Équivalent à l'infini 

Quand  tend vers , on a l'équivalence

c'est-à-dire que

D'après le théorème des nombres premiers, la fonction de compte des nombres premiers  est équivalente à , donc à , qui en fournit par ailleurs une meilleure approximation.

Propriétés 
La fonction  est liée à  l'exponentielle intégrale   par la relation  pour tout nombre réel strictement positif . Ceci mène aux développements en séries de , comme :

où  est la constante d'Euler-Mascheroni.

On en déduit le développement au voisinage de 1 du logarithme intégral : .

La fonction   a une seule racine, elle se trouve en  ; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.

Fonction d'écart logarithmique intégrale 
La fonction d'écart logarithmique intégrale est une fonction spéciale  très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :

Une valeur approchée de  est 1,045 163 8, alors que  = 0.

On peut montrer à l'aide d'intégrations par parties successives que, pour tout entier , on a le développement asymptotique suivant à l'infini de  (donc aussi de ) :

Pour n = 0, on retrouve l'équivalent ci-dessus.

Signification en théorie des nombres 

Comme dit dans la section « Équivalent », le théorème des nombres premiers établit que:

où  exprime la quantité de nombres premiers inférieurs à .

Avec l'hypothèse de Riemann, l'estimation suivante plus forte est possible :

Pour des petits , , mais on sait, indépendamment de l'hypothèse de Riemann, que cette différence change de signe un nombre infini de fois quand  augmente. La première occurrence devrait survenir au voisinage de 1.4×10316.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Cosinus intégral
 Sinus intégral
 Intégrale non élémentaire
 Constante de Ramanujan-Soldner
 Théorème des nombres premiers
 Nombre de Skewes

Bibliographie 
.

Analyse réelle
Fonction spéciale
Fonction hypergéométrique
Integral