Matrice identité
En mathématiques, plus précisement en algèbre linéaire, une matrice identité ou matrice unité est une matrice carrée diagonale dont la diagonale principale est remplie de , et dont les autres coefficients valent . Elle peut s'écrire : 

La matrice identité de taille  se note   : 

Il est possible de noter les coefficients de la matrice identité d'ordre  avec le delta de Kronecker : 
 avec

Propriétés 

Les matrices identité sont des matrices unitaires et sont donc inversibles et normales.

Pour toute matrice  à  lignes et  colonnes : 

La matrice identité représente l'application identité dans n'importe quelle base. Tout comme cette dernière n'a aucun effet par composition avec une application linéaire donnée, la matrice identité n'a aucun effet par produit avec une matrice. En particulier,  est l'élément neutre pour la multiplication des matrices carrées d'ordre .

Une matrice identité de taille  vérifie les propriétés suivantes : 

 Son rang vaut  ;
 Son inverse est elle-même :  ;
 Son conditionnement vaut  ;
 Son déterminant vaut  ;
 Son polynôme caractéristique est  ;
 Son unique valeur propre est  de multiplicité  ;
 Sa trace vaut  ;
 En normes : 
 Sa norme  vaut :  ;
 Sa norme  vaut :  ;
 Sa norme  vaut : .

Lien avec la matrice vide 

La matrice vide carrée de taille  est une matrice unité, notée  ou . Elle représente l'application identité de l'espace nul.

Notes et références

Notes

Voir aussi 
 Matrice nulle
 Application identité

Identité