Homéomorphisme
En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.

La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont « le même » vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.

Théorème 
Soit  et  des espaces topologiques,  une application bijective de  sur . Les conditions suivantes sont équivalentes :

  et sont continues ;
 pour qu'une partie de  soit ouverte, il faut et il suffit que son image dans  soit ouverte.

Propriétés 

 Une bijection continue est un homéomorphisme si et seulement si elle est ouverte ou fermée (elle est alors les deux).
 Soient K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et f : K  →  E  une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.
 Une bijection continue n'est pas toujours un homéomorphisme (voir l'article Comparaison de topologies). Par exemple, l'applicationest une bijection continue mais sa réciproque n'est pas continue en . En fait, il n'existe aucun homéomorphisme entre le cercle  et une partie de ℝ (par des arguments de connexité ou de simple connexité).

Définitions associées 
Une application f : X  →  Y est un  si tout point de X appartient à un ouvert V tel que f(V) soit ouvert dans Y et que f donne, par restriction, un homéomorphisme de V sur f(V). Une telle application est continue et ouverte.
Exemples
Tout revêtement est un homéomorphisme local.
Pour tout ouvert X de Y, l'inclusion X  →  Y est un homéomorphisme local.
Toute composée X  →  Z d'homéomorphismes locaux X  →  Y et Y  →  Z est un homéomorphisme local.
Toute réunion disjointe ∐X →  Y d'homéomorphismes locaux X →  Y est un homéomorphisme local.
 (Cf. la « droite réelle avec un point double ».)
Tout difféomorphisme local d'une variété dans une autre est un homéomorphisme local.

Une propriété topologique est une propriété qui est invariante par homéomorphismes.

Exemples 
 Tout difféomorphisme est un homéomorphisme.
 Un cercle et un carré sont homéomorphes (par translation suivie d'une projection centrale).
 La sphère de Riemann privée de son pôle nord est homéomorphe au plan : un homéomorphisme est ici la projection stéréographique.
 Le tore de dimension 1 et le cercle unité (ou tout autre cercle de rayon non nul) sont homéomorphes.

Référence

Voir aussi

Articles connexes 
 Théorème de la bijection
 Morphisme
 Isomorphisme
 Systèmes dynamiques
 Théorème de l'invariance du domaine
 Propriété locale
Plongement

Lien externe 
Homéomorphisme du plan sur un carré : animation sur GeoGebra accompagnée d'un exercice

Topologie générale
Continuité